五角形について

Aqoursが5周年ということで、"Fantastic Deperture"の衣装には、五角形のモチーフが描かれていました。

そこで特に脈絡はないですが、私が思う五角形のことについて書きたいと思います。

まず、五角形とはどういう図形なのかということを考えると、非常に作図し辛い図形であると言える。

小学校の時になんとなく五角形の作図方法について教わった気もするが、少なくとも今「五角形を作図しろ」といわれても、私はできません。

一方で、自然界にとっては五角形という図形は結構ありふれた図形として受け入れられているようである。

例えば、桜の花びらに概評される多くの花の花弁は五角形をとっているし、ヒトデとかも五角形だ。

これにはフィボナッチ数列とかが絡んでくるようなので、なかなか難しい話になるけれど、とにかく自然界にとっては五角形というものはそれほど異端な図形ではないようだ。

しかしながら、結晶学の世界ではなかなか五角形というものは受け入れらていない。

普通世の中にある結晶は、3回対称とか4回対称とか6回対称とかといった「対称軸」を持つ。簡単に言えば、平面上に三角形、四角形、六角形などの合同な図形を敷き詰めようとしたとき、それらが問題なく敷き詰めることが出来るような回転軸を持つ（意味不明かもしれないけど、結晶の並進対称性とかのWikiの記事を参照されたし）。

しかしながら、合同な五角形を平面上に敷き詰めようとしても、それは不可能である。

従って、5回対称軸をもつ結晶というものはあり得ないとされてきた。

その概念をある意味で覆したのが2011年にノーベル物理学賞を受賞したダニエル・シェヒトマンである。

なんかアルミニウムとかよくわからん軽金属とかの合金をいろんな条件で結晶にしてたら、5回対称軸を有する結晶らしきものが出来たらしく、それは「準結晶」と名付けられました。

準結晶は非晶質（アモルファス）と結晶の中間に位置する物質として結晶学会にも提起されました。その物性についてはあまり魅力的でなかったことは残念である。

この二次元的なパターンを提唱したのが、今年のノーベル物理学賞を受賞したペンローズです。というかそもそもペンローズパターンの三次元バージョンが準結晶みたいな位置づけだと私は思っているので、シェヒトマンがノーベル賞を受賞した時点でペンローズも受賞しても良かったんじゃないかって思う。

詳しくはペンローズタイルとかで検索してみてください。いくつかのイスラム建築の中にペンローズパターンが散見されます。

なんでこの記事を書いてるのかというと、冒頭のAqoursの"Fantastic Depperture"の衣装にインスパイアされたからです。

とにかく五角形は結晶学をちょっとでもかじったことのある人にとってはちょっととっつきづらい奇妙な図形だし、一方で結晶学の世界にも五角形の存在が許容されつつある。

同じ自然界に存在する桜とかの花びらがいとも簡単に五角形を形作ってみせる一方で、結晶についてはなかなか五角形と親密な関係を築くことに苦労していることは、なかなか興味深いことです。